La Caída de los Cuerpos

Todos hemos experimentados los efectos de la gravedad en las cercanías de la superficie terrestre ¿A quién no se le ha caído algo de la mesa o de las manos? ¿Quién no se ha preguntado como es que nuestros pies permanecen pegados al suelo, aún estando debajo del planeta? ¿Porqué se mueve una piedra lanzada al aire de la manera en que lo hace? ¿Qué significa que un cuerpo sea mas pesado que otro? ¿Caerá mas rápido? ¿Qué es el peso? Y así podríamos seguir.

Se comprueba experimentalmente que todo cuerpo masivo, es decir, con masa, genera un campo gravitatorio a su alrededor de alcance infinito (es cierto que ha medida que ha una distancia suficientemente lejana sus efectos son no significativos) ¿Porqué lo hace? ¿Cómo? No es algo que estudiaremos en este momento. Solo sabemos que así ocurre. Y lo hace de manera tal que todo cuerpo a su alrededor experimenta una fuerza, denominada gravitatoria, cuya dirección está definida por la recta que une a los dos cuerpos, y en sentido al cuerpo "generador" que la produce.

Fue sir Isaac Newton, quien en sus Principia establece una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la intensidad de la fuerza con la que se atraen dos objetos. La misma fue la que deducimos anteriormente (ver Interacción Gravitatoria) como:

en donde F es la intensidad de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo de masa M sobre un cuerpo de masa m, a una distancia r, y Ф es la "Constante de Gravitación Universal". También observó que dicha fuerza actúa de tal forma que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en un punto. En particular si estos cuerpos eran esferas homogéneas, ese punto es su centro. A este punto "imaginario", en donde pareciera estar aplicada la fuerza lo llamaremos "Centro de gravedad".

Otra observación importante, es que hay que tener en cuenta que todo cuerpo atraído por un objeto masivo también tiene masa, y en consecuencia también es atraído por éste. La magnitud de esta otra fuerza que actúa sobre el otro cuerpo es de igual magnitud que la que éste ejerce sobre él. (3° Ley de Newton).

Recordemos, que en realidad, las masas que participan en las ecuaciones anteriores son las masas gravitatorias de los cuerpos. Y que fue gracias a que se comprobaba experimentalmente que la masa gravitatoria de un cuerpo era proporcional a la masa inercial del mismo, y que se había tomado como unidad de masa gravitatoria al mismo cuerpo que sirve para definir la unidad de masa inercial (kilogramo patrón) que ambas masas se igualaban.

Ahora bien, supongamos que aún no hemos considerado dicha convención que iguala la masa inercial con la gravitatoria (es decir que μ=k m, donde k es una constante universal). Aplicando la Segunda Ley de Newton al cuerpo 2 de la figura anterior tenemos:

es decir, que el módulo de la aceleración sólo será función de la distancia al cuerpo 1, independientemente de la masa (inercial o gravitatoria) del cuerpo 2. Esto no es poca cosa. La ecuación anterior nos dice que todo cuerpo a una distancia r del cuerpo 1 tendrá la misma aceleración (en módulo) en dirección al cuerpo 1, independientemente de su masa. Notable!!!
En particular, si hacemos uso de la convención que iguala masa inercial con gravitatoria tenemos:

Ahora bien. Imaginemos que el cuerpo 1 es la Tierra. Y que el cuerpo 2 es cualquier objeto sobre la superficie terrestre. Consideremos además la Tierra esférica y prácticamente homogénea, de forma tal de poder considerarla como una masa puntual en su centro. Ver figura:

Entonces el módulo de la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre ese objeto, y viceversa, es:
                                                       

Donde M es la masa de Tierra, m la masa de 2 y R es su radio. Si tenemos en cuenta que M es 5,97x10²⁴ Kg aproximadamente, que su radio es de 6.371.000 m y que Ф es 6,73x10^-11 Nm² /Kg² tenemos que, sea cual sea su masa:

a₂=9,8 m/seg²  aproximadamente

Y como dijimos la aceleración debido a la fuerza gravitatoria no depende de la masa de los objetos que son atraídos, podemos decir que será también la aceleración debida a la gravedad de todos los cuerpos sobre la superficie terrestre. Esto constituye lo que se conoce como "Principio de Caída de los cuerpos": Todo cuerpo en la cercanía de la superficie terrestre experimentará una aceleración debido a la gravedad de 9,8 m/seg². A esta aceleración la llamaremos g.
Entonces la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el cuerpo 2 se llama "peso" del mismo. Estrictamente deberíamos escribir:

P=μG

Donde μ es la masa gravitatoria del cuerpo 2 y G es el campo gravitatorio que genera la Tierra a su alrededor (que depende de la distancia).

Pero como la masa inercial coincide con la masa gravitatoria (debido a nuestra convención), y el campo gravitatorio, dado por la aceleración que a esa distancia del centro de la tierra tienen todos los cuerpos, se mantiene constante (ya que todos se encuentra a una distancia R), escribimos:

P=mg

Observe entonces que el peso no es una propiedad inherente del cuerpo, sino que también depende de la posición del mismo, y del campo gravitatorio al esté sujeto.

Con la fuerza de atracción gravitatoria se puede definir un patrón de fuerza. Una magnitud que pueda medirse directamente. Se toma como unidad de fuerza, el peso del kilogramo patrón. Esta unidad, es el "kilogramo fuerza". Según su definición, 1 kgf = 9,8 N.

Por último, consideremos una persona de 80 kg que cae libremente (desprecie el rozamiento del aire) por acción de la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él. Por 3° Ley de Newton, la persona ejerce la misma fuerza gravitatoria sobre la Tierra. La intensidad de la fuerza que actúa sobre el hombre es 784 N. Como dijimos esa es la misma fuerza con la que el hombre atrae a la tierra ¿Cuál será la aceleración terrestre? La respuesta es fácil, aproximadamente 0,000000000000000000000131 m/seg². Prácticamente nula. Es por eso que en general pensamos que sólo la Tierra nos atrae a nosotros, y olvidamos lo que hemos aprendido de Newton en la escuela.

El experimento de Cavendish

El experimento de Cavendish fue realizado entre 1797 y 1798 por el científico británico Henry Cavendish, en el que sería el primer experimento en medir la fuerza de atracción gravitatoria entre dos masas en el laboratorio, y el primero en dar un valor bastante preciso para la Constante de Gravitación Universal. Debido a las covensiones de unidad entonces en uso, la constante de gravitación universal no aparece explícitamente en la obra de Cavendish. En su lugar, el resultado se expresó originalmente como la densidad relativa de la Tierra.

El experimento fue ideado en algún momento antes de 1783 por el geólogo John Michell, quien construyó un aparato de balanza de torsión para ello. Sin embargo Michell murió en 1793 antes de completar su trabajo, y después de su muerte el aparato pasó a manos de Francis John Hyde Wollaston y luego a Henry Cavendish, quien lo reconstruyó respetando el plan original de Michell. Cavendish desarrollo una serie de mediciones con este equipo, e informó sus resultados a la "Philosophical  Transactions of The Royal Society" en 1798.

La Balanza de Cavendish

El aparato construido por Cavendish era una balanza de torsión hecha de una varilla de 1,8 m de largo suspendida de un cable de 52 mm de diámetro, en cuyos extremos tenían unido una esfera de plomo de 0,73 Kg. Dos bolas de plomo de 300mm de diámetro y de 158 Kg se encontraban cerca de las bolas mas pequeñas (alrededor de 230 mm de distancia) y se mantenían en su lugar con un sistema de suspensión independiente. El experimento midió la débil atracción gravitatoria entre las esferas chicas y las grandes.

Las dos grandes esferas se colocaron en lados alternos del brazo horizontal de madera de la balanza. La atracción mutua existente entre éstas y las esferas pequeñas causó que el brazo gire, retorciendo el alambre que lo sostiene.

El brazo entonces deja de girar cuando se llega a un ángulo en donde la fuerza de torsión del alambre equilibra a la fuerza de atracción gravitatoria combinada entre las esferas grandes y pequeñas de plomo. Al medir el ángulo de la varilla y conociendo la fuerza de torsión ( par de torsión) para un ángulo dado, Cavendish era capaz de determinar la fuerza entre los pares de esferas.

Como la fuerza gravitatoria de la Tierra sobre la esfera pequeña puede medirse fácilmente pesándola, la relación entre las dos fuerzas permitió calcular la densidad de la Tierra utilizando la Ley de Gravitación Universal de Newton.

Cavendish encontró que la densidad de la Tierra fue 5.448 ± 0.033 veces mayor que la del agua (debido a un error aritmético simple, encontrado en 1821 por F. Baily, el valor erróneo 5,48 ± 0,038 aparece en su documento).

Para encontrar el coeficiente de torsión del alambre, y con ello el torque ejercido por el cable para un determinado ángulo de giro, Cavendish midió el período de oscilación natural de la varilla. El plazo era de unos 20 minutos. El coeficiente de torsión puede calcularse a partir de esto y de la masa y las dimensiones de la balanza. 

El equipo de Cavendish era extraordinariamente sensible para su tiempo.  La fuerza involucrada en la torsión de la balanza era muy pequeña, 1,74 x 10 ^-7 N,  alrededor de 1/50.000.000 del peso de las bolas pequeñas o aproximadamente el peso de un gran grano de arena. Para evitar que corrientes de aire y cambios de temperatura logren interferir con las mediciones, Cavendish coloca todo el aparato en una caja de madera de unos 0,61 m de espesor, 3,0 m de altura y 3,0 m de ancho, todo ello en un cobertizo cerrado en su finca. A través de dos agujeros en las paredes de la nave, Cavendish utiliza telescopios para observar el movimiento de la barra horizontal de la balanza de torsión. El movimiento de la varilla era sólo alrededor de 4,1 mm. Cavendish fue capaz de medir esta pequeña desviación a una precisión mejor que un centésimo de pulgada utilizando escalas vernier (también llamadas nonios, son una segunda escala auxiliar que tienen algunos instrumentos de medición que permite apreciar una medición con mayor presición al complementar las divisiones de una regla o escala principal del instrumento de medida) en los extremos de la varilla. La exactitud de Cavendish no fue superada hasta el experimento de CV Boys en 1895. Con el tiempo, la balanza de torsión de Michell se convirtió en la técnica dominante para la medición de la Constante de Gravitación Universal , y las mediciones más contemporáneas todavía utilizan variaciones de la misma. Es por este motivo que ese experimento de Cavendish se transformó en "El experimento de Cavendish".

Cavendish no tenía como objetivo determinar la Constante Gravitacional

Es común encontrar libros que señalan erróneamente que el propósito de Cavendish era determinar la constante gravitacional, y este error ha sido señalado por diversos autores. En realidad, el único propósito de Cavendish era determinar la densidad de la Tierra. Él llamaba a esto «pesar el mundo». El método de Cavendish utilizado para calcular la densidad de la Tierra consistía en medir la fuerza sobre una pequeña esfera debida a una esfera mayor de masa conocida y comparar esto con la fuerza sobre la esfera pequeña debida a la Tierra. De esta forma se podía describir a la Tierra como N veces más masiva que la esfera grande sin necesidad de obtener un valor numérico para Φ. La constante gravitacional no aparece en el artículo de Cavendish y no hay indicio de que él haya vislumbrado esto como propósito experimental. Una de las primeras referencias a Φ apareció en 1873, 75 años después del trabajo de Cavendish.

Sin embargo, aunque Cavendish no reportó un valor para Φ, los resultados de su experimento permitieron determinarlo. A finales del siglo XIX los científicos comenzaron a reconocer a Φ como una constante física fundamental, calculándola a partir de los resultados de Cavendish. 

Después de convertir a unidades del Sistema Internacional, el valor obtenido por Cavendish para la densidad de la Tierra es 5,45 g/cm3. Así junto al resto de los datos recabados se obtuvo el valor Φ = 6,74x10-11 (Nm2)/kg2, lo cual se encuentra dentro de un 1% del valor actualmente aceptado.

Obtención de Φ y la masa de la Tierra

Lo siguiente no es el método que Cavendish usó, pero muestra cómo los físicos modernos utilizarían sus resultados. Se comprueba que el torque en el cable es proporcional al ángulo de torsión θ de la balanza. Es decir, que el torque es κθ, donde κ es el coeficiente de torsión del cable. No obstante el torque también puede ser escrito como el producto de las fuerzas de atracción entre las esferas por la distancia al cable de suspensión. Tenemos entonces que (tomando como sentido positivo el giro contrario a las agujas del reloj) el momento total (o torque total) es F.(L/2)+FL(L/2)= F.L.

Igualando las dos formulas para el torque tenemos:

Ahora bien, F, es la intensidad de la fuerza gravitatoria entre las esferas chicas y las grandes, cuyo valor esta dado por la Ley de Gravitación Universal de Newton (r es la distancia entre la esfera grande y la pequeña)

Sustituyendo F en la primera ecuación obtenemos

Para encontrar el coeficiente de torsión κ puede medirse a partir del período de oscilación T de la balanza de torsión:

Asumiendo que la masa de la varilla no es significativa, el momento de inercia de la balanza es sólo debido a las pequeñas esferas:

y así:

Despejando k y sustituyendo en la ecuación (1), obtenemos

Una vez encontrado Φ, se puede utilizar la atracción gravitatoria de un objeto de masa conocida sobre la superficie terrestre para calcular la masa de la Tierra y su densidad. Inténtelo!!!!

Fuente:

en.wikipedia.org

Interacción Gravitatoria

En esta sección estudiaremos la interacción gravitatoria. La característica fundamental de esta interacción, que la distingue de las demás, es que existe siempre entre dos cuerpos cualesquiera y no puede ser modificada desde el exterior.

La Luna interacciona con la Tierra

En general la interacción gravitatoria entre dos cuerpos de características "normales" es muy débil, y requiere de instrumentos de gran precisión para ser puesta en evidencia. Pero en cuerpos de dimensiones "astronómicas" (cuerpos celestes) la interacción gravitatoria produce efectos apreciables. La caída de un cuerpo (movimiento acelerado) revela la interacción gravitatoria entre el cuerpo y la Tierra. El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra es el resultado de su interacción gravitatoria con ésta, el movimiento de los planetas alrededor del Sol revela la existencia de una interacción gravitatoria entre los primeros y el Sol.

Vamos a estudiar la interacción entre dos cuerpos puntuales, realizando una serie experiencia ideales. Uno de los cuerpos (el cuerpo O), lo vamos a suponer fijo en el origen de nuestro sistema de coordenadas; vamos a medir la fuerza de interacción gravitatoria que actúa sobre el otro cuerpo (el cuerpo 1), y que por supuesto, siempre será igual a la fuerza de interacción sobre el cuerpo O.

Comprobamos experimentalmente que:

• La fuerza siempre es atractiva, o sea, dirigida hacia el otro cuerpo. Depende además de la distancia r entre los dos cuerpos : f₁ = f₁ (r). Cambiando ahora el cuerpo 1 por un cuerpo 2 tendremos nuevamente, para cada punto en el espacioo, un vector f₂ = f₂ (r)
• Respecto de los módulos de los vectores fuerza sobre los cuerpos 1 y 2 se comprueba:

donde  son los módulos de las fuerzas de atracción gravitatoria sobre los cuerpos 1 y 2 en distintos puntos del espacio que rodea al cuerpo O. La constante μ12 que es independiente de la posición y que representa una cualidad inherente de los cuerpos 1 y 2, se denomina "masa gravitatoria del cuerpo 2 en unidad del cuerpo 1".

Si ahora tomamos un tercer, cuarto, enésimo cuerpo, comprobamos igualmente que:

obteniendo así las masas gravitatorias de esos cuerpos en unidad del cuerpo 1.3. 

• Si ahora comparamos la fuerza que, en un punto dado, actúa sobre el cuerpo 3, con la que actúa sobre el cuerpo 2, verificamos experimentalmente que:

La última igualdad es un resultado nuevo que no se puede deducir de los anteriores. Si "por decreto" adoptamos de una vez por todas al cuerpo 1 como "unidad de masa gravitatoria", podemos suprimir el subíndice en μ ₂₁, μ ₃₁ , y llamar al cociente

 "masa gravitatoria del cuerpo n" (sobreentendiendo que es en unidad del cuerpo 1). Observe que, así definido, el valor de la masa gravitatoria es el número que mide cuántas veces más intensa es la  fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo "n", en comparación con la fuerza sobre el cuerpo unidad. Este número dependerá por lo tanto, del cuerpo unidad. Cambiando el cuerpo unidad, el valor de la masa gravitatoria de un cuerpo cualquiera variará. Por ahora, el concepto de masa gravitatoria está expresado como una magnitud independiente.

Como resultado de las experiencias ideales 1° a 3° se pueden resumir en las siguientes igualdades vectoriales:

Hasta aquí no hemos aparecer explícitamente al cuerpo O, colocado en el origen, y que era el "proveedor" de las interacciones gravitatorias analizadas arriba. Las igualdades vectoriales mencionadas nos permiten introducir un concepto físico ligado a ese cuerpo. Efectivamente de ellas se deduce:

independiente de los cuerpos 1, 2 y 3,... dependiente sólo de la posición y del cuerpo O. Este vector, definido en cada punto del espacio que rodea al cuerpo O, se llama Campo Gravitatorio del cuerpo O. Representa el hecho físico de que el cociente entre la fuerza de atracción gravitatoria y la masa gravitatoria es independiente de esta última; su valor numérico esta dado por la fuerza que actúa sobre el cuerpo unidad de masa gravitatoria.

El campo gravitatorio constituye lo que se denomina un campo vectorial:

una función que tiene por dominio las coordenadas de un punto del espacio y por imagen un vector.

Imagen extraída de www.giematic.unican.es

Un campo vectorial está dado por sus componentes en función de las coordenadas:

G_x=Gx (x,y,z)

Gy=Gy (x,y,z)

Gz=Gz (x,y,z)

Corresponde ahora determinar experimentalmente cómo se depende el campo gravitatorio de la posición y del cuerpo O. Se comprueba:

• El módulo del vector G es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto en cuestión y el cuerpo que produce ese campo. La constante de proporcionalidad depende de ese cuerpo (en nuestro caso, el cuerpo O):

Por tanto la fuerza que actúa sobre el cuerpo 1 será:

El infinito cuando r tiende a 0 no molesta en física clásica; como hemos dicho anteriormente que todo esto vale para cuerpos puntuales, éstos al acercarse mutuamente a medida que r tiende a 0 ya no podrán ser más considerado puntuales (recuerde el carácter relativo de cuerpo puntual), y no valdrá más esta expresión.

Vamos a demostrar ahora que la constante K_o  es proporcional a la masa gravitatoria del cuerpo O. Para ello bastará  reemplazar el cuerpo O por el 1 (ningún cuerpo es privilegiado). La fuerza  f_o sobre el cuerpo  O deberá ser:

Como  f_o= f₁  (3° Ley de Newton), deducimos:

Como lo mismo valdrá para los cuerpos 2, 3, ... puestos en interacción gravitatoria con el cuerpo O, tendremos:

Esta constante es independiente de los cuerpos en interacción, independiente del espacio, independiente del tiempo, independiente de todo. Es una constante universal y se llama Constante Universal de Gravitación. Su valor numérico depende sólo de las unidades elegidas para la masa gravitatoria, para las distancias y para los tiempos.

Ahora podemos escribir para el campo gravitatorio de la masa μ ₀:

y para la fuerza que en este campo actúa sobre la masa μ:

Hemos dicho al principio que las interacciones gravitatorias se distinguen de las demás por estar siempre presentes. Esto querrá decir que a todo cuerpo de masa inercial m estará también asociada una masa gravitatoria μ. Experimentalmente se comprueba:

• La masa gravitatoria de un cuerpo sólo depende de su masa inercial, independientemente de su composición y demás condiciones físicas. La dependencia es una proporcionalidad:

μ=k.m

El factor de proporcionalidad es una constante universal, y su valor sólo depende de las unidades de masa gravitatoria y masa inercial.

En base a esta proporcionalidad entre masa inercial y masa gravitatoria, adoptamos la convención de elegir como unidad de masa gravitatoria a la masa del mismo cuerpo que sirve para definir la unidad de masa inercial (el kilogramo patrón), podemos hacer k=1 y, con ello, escribir la igualdad:

μ=m (1)

Lo importante es recordar que, conceptualmente  la masa inercial y la masa gravitatoria son dos magnitudes físicas totalmente diferentes. Es sólo base a su proporcionalidad, y en base a la convención de elegir como unidades de masa inercial y gravitatoria a un mismo cuerpo, que se puede escribir la igualdad anterior.
Finalmente, obtenemos la famosa "Ley de Gravitación Universal de Newton":

donde F es la intensidad de la fuerza con la que se atraen dos cuerpos puntuales de masa M y m, a una distancia r, y Ф es la "constante de gravitación universal".
Cabe destacar que, debido a la igualdad (1), no hablaremos más de masa inercial o gravitatoria, sino solamente de "masa" de un determinado cuerpo.

Fuente:
Mecánica Elemental de Roederer - Editorial Eudeba