Interacción Gravitatoria

En esta sección estudiaremos la interacción gravitatoria. La característica fundamental de esta interacción, que la distingue de las demás, es que existe siempre entre dos cuerpos cualesquiera y no puede ser modificada desde el exterior.

La Luna interacciona con la Tierra

En general la interacción gravitatoria entre dos cuerpos de características "normales" es muy débil, y requiere de instrumentos de gran precisión para ser puesta en evidencia. Pero en cuerpos de dimensiones "astronómicas" (cuerpos celestes) la interacción gravitatoria produce efectos apreciables. La caída de un cuerpo (movimiento acelerado) revela la interacción gravitatoria entre el cuerpo y la Tierra. El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra es el resultado de su interacción gravitatoria con ésta, el movimiento de los planetas alrededor del Sol revela la existencia de una interacción gravitatoria entre los primeros y el Sol.

Vamos a estudiar la interacción entre dos cuerpos puntuales, realizando una serie experiencia ideales. Uno de los cuerpos (el cuerpo O), lo vamos a suponer fijo en el origen de nuestro sistema de coordenadas; vamos a medir la fuerza de interacción gravitatoria que actúa sobre el otro cuerpo (el cuerpo 1), y que por supuesto, siempre será igual a la fuerza de interacción sobre el cuerpo O.

Comprobamos experimentalmente que:

• La fuerza siempre es atractiva, o sea, dirigida hacia el otro cuerpo. Depende además de la distancia r entre los dos cuerpos : f₁ = f₁ (r). Cambiando ahora el cuerpo 1 por un cuerpo 2 tendremos nuevamente, para cada punto en el espacioo, un vector f₂ = f₂ (r)
• Respecto de los módulos de los vectores fuerza sobre los cuerpos 1 y 2 se comprueba:

donde  son los módulos de las fuerzas de atracción gravitatoria sobre los cuerpos 1 y 2 en distintos puntos del espacio que rodea al cuerpo O. La constante μ12 que es independiente de la posición y que representa una cualidad inherente de los cuerpos 1 y 2, se denomina "masa gravitatoria del cuerpo 2 en unidad del cuerpo 1".

Si ahora tomamos un tercer, cuarto, enésimo cuerpo, comprobamos igualmente que:

obteniendo así las masas gravitatorias de esos cuerpos en unidad del cuerpo 1.3. 

• Si ahora comparamos la fuerza que, en un punto dado, actúa sobre el cuerpo 3, con la que actúa sobre el cuerpo 2, verificamos experimentalmente que:

La última igualdad es un resultado nuevo que no se puede deducir de los anteriores. Si "por decreto" adoptamos de una vez por todas al cuerpo 1 como "unidad de masa gravitatoria", podemos suprimir el subíndice en μ ₂₁, μ ₃₁ , y llamar al cociente

 "masa gravitatoria del cuerpo n" (sobreentendiendo que es en unidad del cuerpo 1). Observe que, así definido, el valor de la masa gravitatoria es el número que mide cuántas veces más intensa es la  fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo "n", en comparación con la fuerza sobre el cuerpo unidad. Este número dependerá por lo tanto, del cuerpo unidad. Cambiando el cuerpo unidad, el valor de la masa gravitatoria de un cuerpo cualquiera variará. Por ahora, el concepto de masa gravitatoria está expresado como una magnitud independiente.

Como resultado de las experiencias ideales 1° a 3° se pueden resumir en las siguientes igualdades vectoriales:

Hasta aquí no hemos aparecer explícitamente al cuerpo O, colocado en el origen, y que era el "proveedor" de las interacciones gravitatorias analizadas arriba. Las igualdades vectoriales mencionadas nos permiten introducir un concepto físico ligado a ese cuerpo. Efectivamente de ellas se deduce:

independiente de los cuerpos 1, 2 y 3,... dependiente sólo de la posición y del cuerpo O. Este vector, definido en cada punto del espacio que rodea al cuerpo O, se llama Campo Gravitatorio del cuerpo O. Representa el hecho físico de que el cociente entre la fuerza de atracción gravitatoria y la masa gravitatoria es independiente de esta última; su valor numérico esta dado por la fuerza que actúa sobre el cuerpo unidad de masa gravitatoria.

El campo gravitatorio constituye lo que se denomina un campo vectorial:

una función que tiene por dominio las coordenadas de un punto del espacio y por imagen un vector.

Imagen extraída de www.giematic.unican.es

Un campo vectorial está dado por sus componentes en función de las coordenadas:

G_x=Gx (x,y,z)

Gy=Gy (x,y,z)

Gz=Gz (x,y,z)

Corresponde ahora determinar experimentalmente cómo se depende el campo gravitatorio de la posición y del cuerpo O. Se comprueba:

• El módulo del vector G es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto en cuestión y el cuerpo que produce ese campo. La constante de proporcionalidad depende de ese cuerpo (en nuestro caso, el cuerpo O):

Por tanto la fuerza que actúa sobre el cuerpo 1 será:

El infinito cuando r tiende a 0 no molesta en física clásica; como hemos dicho anteriormente que todo esto vale para cuerpos puntuales, éstos al acercarse mutuamente a medida que r tiende a 0 ya no podrán ser más considerado puntuales (recuerde el carácter relativo de cuerpo puntual), y no valdrá más esta expresión.

Vamos a demostrar ahora que la constante K_o  es proporcional a la masa gravitatoria del cuerpo O. Para ello bastará  reemplazar el cuerpo O por el 1 (ningún cuerpo es privilegiado). La fuerza  f_o sobre el cuerpo  O deberá ser:

Como  f_o= f₁  (3° Ley de Newton), deducimos:

Como lo mismo valdrá para los cuerpos 2, 3, ... puestos en interacción gravitatoria con el cuerpo O, tendremos:

Esta constante es independiente de los cuerpos en interacción, independiente del espacio, independiente del tiempo, independiente de todo. Es una constante universal y se llama Constante Universal de Gravitación. Su valor numérico depende sólo de las unidades elegidas para la masa gravitatoria, para las distancias y para los tiempos.

Ahora podemos escribir para el campo gravitatorio de la masa μ ₀:

y para la fuerza que en este campo actúa sobre la masa μ:

Hemos dicho al principio que las interacciones gravitatorias se distinguen de las demás por estar siempre presentes. Esto querrá decir que a todo cuerpo de masa inercial m estará también asociada una masa gravitatoria μ. Experimentalmente se comprueba:

• La masa gravitatoria de un cuerpo sólo depende de su masa inercial, independientemente de su composición y demás condiciones físicas. La dependencia es una proporcionalidad:

μ=k.m

El factor de proporcionalidad es una constante universal, y su valor sólo depende de las unidades de masa gravitatoria y masa inercial.

En base a esta proporcionalidad entre masa inercial y masa gravitatoria, adoptamos la convención de elegir como unidad de masa gravitatoria a la masa del mismo cuerpo que sirve para definir la unidad de masa inercial (el kilogramo patrón), podemos hacer k=1 y, con ello, escribir la igualdad:

μ=m (1)

Lo importante es recordar que, conceptualmente  la masa inercial y la masa gravitatoria son dos magnitudes físicas totalmente diferentes. Es sólo base a su proporcionalidad, y en base a la convención de elegir como unidades de masa inercial y gravitatoria a un mismo cuerpo, que se puede escribir la igualdad anterior.
Finalmente, obtenemos la famosa "Ley de Gravitación Universal de Newton":

donde F es la intensidad de la fuerza con la que se atraen dos cuerpos puntuales de masa M y m, a una distancia r, y Ф es la "constante de gravitación universal".
Cabe destacar que, debido a la igualdad (1), no hablaremos más de masa inercial o gravitatoria, sino solamente de "masa" de un determinado cuerpo.

Fuente:
Mecánica Elemental de Roederer - Editorial Eudeba